推定 No.10統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

難易度：標準 知識問題

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n（n≥2n\ge2）を、平均 μ\mu、分散 σ2\sigma^2（σ2>0\sigma^2>0）の母集団からの無作為標本とし、Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i とする。推定量の性質に関する記述として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：5

E[X1]=μE[X_1]=\mu、E[Xˉ]=μE[\bar{X}]=\mu なので、どちらも μ\mu の不偏推定量である。分散は V[X1]=σ2V[X_1]=\sigma^2、V[Xˉ]=σ2/nV[\bar{X}]=\sigma^2/n で、n≥2n\ge2 なら Xˉ\bar{X} の方が小さい。不偏推定量どうしでは分散が小さい方がより有効（効率がよい）といえるので、5 が正しい。

誤答の選択肢について

  • 1 nn で割った標本分散の期待値は n−1nσ2\frac{n-1}{n}\sigma^2 で、σ2\sigma^2 より小さくなります（偏りがある）。不偏推定量は n−1n-1 で割った不偏分散 S2S^2 です。
  • 2 E[X1]=μE[X_1]=\mu なので、X1X_1 も不偏推定量です。ただし分散が大きく、有効ではありません。
  • 3 X1X_1 は不偏ですが、nn を大きくしても分散 σ2\sigma^2 のままで μ\mu に近づかないので、一致推定量ではありません。不偏性と一致性は別の性質です。
  • 4 E[S2]=σ2E[S^2]=\sigma^2 ですが、平方根をとると E[S]<σE[S]<\sigma となり、SS は σ\sigma の不偏推定量ではありません。

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