確率 No.17統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

難易度：標準 知識問題

条件付き確率・乗法定理・余事象の確率について考える。2 つの事象 AA、BB は 0<P(A)<10<P(A)<1、0<P(B)<10<P(B)<1 を満たすものとし、Aˉ\bar A、Bˉ\bar B はそれぞれ AA、BB の余事象を表す。これらの確率の性質に関する記述として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：5

条件付き確率 P( ⋅∣B)P(\,\cdot\mid B) は、BB を全体とみなした確率なので、余事象の関係がそのまま成り立つ。

P(A∣B)+P(Aˉ∣B)=P(A∩B)+P(Aˉ∩B)P(B)=P(B)P(B)=1P(A\mid B)+P(\bar A\mid B)=\frac{P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1

よって 5 が正しい。

誤答の選択肢について

  • 1 条件が BB と Bˉ\bar B で異なるため、和が 1 になるとは限りません。たとえば P(A∣B)=P(A∣Bˉ)=0.3P(A\mid B)=P(A\mid\bar B)=0.3 なら和は 0.60.6 です。
  • 2 乗法定理は条件付き確率の定義 P(B∣A)=P(A∩B)/P(A)P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A) を変形したもので、独立かどうかに関係なく常に成り立ちます。独立のときは P(B∣A)=P(B)P(B\mid A)=P(B) となり積の形になります。
  • 3 A⊂BA\subset B なら A∩B=AA\cap B=A なので P(A∣B)=P(A)/P(B)P(A\mid B)=P(A)/P(B) であり、0<P(B)<10<P(B)<1 より P(A∣B)>P(A)P(A\mid B)>P(A) です。
  • 4 「少なくとも 1 回起こる」の余事象は「1 回も起こらない」なので、この関係は独立性に関係なく常に成り立ちます。独立性が必要になるのは「1 回も起こらない確率」を各回の確率の積で計算するときです。

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