標本分布 No.17統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

難易度：標準 知識問題

正規母集団からの標本にもとづく推測では、不偏分散の分布や2つの不偏分散の比の分布として χ2\chi^2 分布と FF 分布が用いられる。これらの分布の性質に関する記述として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：2

Z1, …, ZkZ_1,\ \dots,\ Z_k が独立に標準正規分布に従うとき、平方和 Z12+⋯+Zk2Z_1^2+\cdots+Z_k^2 が自由度 kk の χ2\chi^2 分布に従う。E(Zi2)=1E(Z_i^2)=1、V(Zi2)=2V(Z_i^2)=2 なので、期待値は kk、分散は 2k2k となる。χ2\chi^2 分布は 0 以上の値だけをとり、右に裾の長い非対称な分布である（自由度が大きくなると対称に近づく）。また、FF が自由度 (m, n)(m,\ n) の FF 分布に従うとき、1/F1/F は自由度 (n, m)(n,\ m) の FF 分布に従う。

誤答の選択肢について

  • 1 χ2\chi^2 分布は右に裾が長い非対称な分布です。
  • 3 和ではなく平方和 Z12+⋯+Zk2Z_1^2+\cdots+Z_k^2 です。和は正規分布 N(0, k)N(0,\ k) に従います。
  • 4 m≠nm\ne n のとき、1/F1/F は自由度が入れ替わった (n, m)(n,\ m) の FF 分布に従い、(m, n)(m,\ n) の FF 分布には従いません。
  • 5 平方和なので χ2\chi^2 分布に従う確率変数は 0 以上の値しかとりません。

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