標本分布 No.16統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

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2つの養鶏場 A、B で生産される卵1個の重さは、A が平均 65 g、標準偏差 8 g、B が平均 60 g、標準偏差 6 g の正規分布に従い、互いに独立であるとする。A、B からそれぞれ無作為に 16 個ずつ卵を選び、重さの標本平均を XˉA\bar{X}_A、XˉB\bar{X}_B とする。P(XˉA−XˉB>2)P(\bar{X}_A-\bar{X}_B>2) に最も近い値を、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：5

XˉA−XˉB\bar{X}_A-\bar{X}_B は正規分布に従い、平均は 65−60=565-60=5、分散は

8216+6216=4+2.25=6.25\frac{8^2}{16}+\frac{6^2}{16}=4+2.25=6.25

なので標準偏差は 2.52.5 である。よって

P(XˉA−XˉB>2)=P(Z>2−52.5)=P(Z>−1.20)=1−0.1151=0.8849≈0.885P(\bar{X}_A-\bar{X}_B>2)=P\left(Z>\frac{2-5}{2.5}\right)=P(Z>-1.20)=1-0.1151=0.8849\approx0.885

誤答の選択肢について

  • 1 P(Z>1.20)=0.1151P(Z>1.20)=0.1151 のままで、余事象と取り違えています。
  • 2 標準偏差を 82+62=10\sqrt{8^2+6^2}=10 として、n\sqrt{n} で割り忘れています（z=−0.30z=-0.30）。
  • 3 分散 6.256.25 を標準偏差の代わりに使っています（z=−3/6.25≈−0.48z=-3/6.25\approx-0.48）。
  • 4 標準偏差を 8/4+6/4=3.58/4+6/4=3.5 と足し算しています。独立な差の分散は分散どうしを足します（z≈−0.86z\approx-0.86）。

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