記述統計（2変数） No.8統計検定®2級対策の練習問題（非公式・オリジナル）

同じ試料を2台の測定器 P、Q で測定した値をそれぞれ $X,\ Y$ とする。多数の試料について調べたところ、 $X$ の分散は $16$ 、 $Y$ の分散は $36$ であり、2台の測定値の差 $X-Y$ の分散は $28$ であった。

$X$ と $Y$ の相関係数として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：4

差の分散は $V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ である。これを共分散について解くと

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{V(X)+V(Y)-V(X-Y)}{2}=\frac{16+36-28}{2}=12$

したがって相関係数は

$r=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}=\frac{12}{4\times6}=0.50$

1 差の分散の式で共分散の項の符号を $+$ としています（ $\mathrm{Cov}=(28-52)/2=-12$ ）。差の分散では $-2\,\mathrm{Cov}$ です。
2 共分散 $12$ を分散の積 $16\times36=576$ で割っています。標準偏差の積で割ります。
3 相関係数の2乗（決定係数）です。
5 共分散 $12$ を $X$ の分散 $16$ だけで割っています。

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