確率分布 No.6統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

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ある種類の照明用 LED ユニットの寿命（時間）は、平均 2000 時間の指数分布に従うとする。なお、e−0.5=0.6065e^{-0.5}=0.6065、e−0.75=0.4724e^{-0.75}=0.4724、e−1.25=0.2865e^{-1.25}=0.2865 である。使用を始めてから 1500 時間が経過した時点でまだ故障していないユニットについて、そこからさらに 1000 時間以上故障しない確率に最も近い値を、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：5

寿命 XX は平均 20002000 の指数分布に従うので、λ=1/2000\lambda=1/2000 として P(X>x)=e−x/2000P(X>x)=e^{-x/2000} である。求める確率は条件付き確率で、指数分布の無記憶性より

P(X>2500∣X>1500)=P(X>2500)P(X>1500)=e−1.25e−0.75=e−0.5=P(X>1000)≈0.6065P(X>2500\mid X>1500)=\frac{P(X>2500)}{P(X>1500)}=\frac{e^{-1.25}}{e^{-0.75}}=e^{-0.5}=P(X>1000)\approx0.6065

すでに経過した 1500 時間は、その後の寿命の分布に影響しない。

誤答の選択肢について

  • 1 P(X>2500)=e−1.25P(X>2500)=e^{-1.25} で、「1500 時間故障していない」という条件を使っていません。
  • 2 1−e−0.51-e^{-0.5} は「さらに 1000 時間以内に故障する」確率です。
  • 3 P(X>1500)=e−0.75P(X>1500)=e^{-0.75} は、1500 時間まで故障しない確率で、問われている確率ではありません。
  • 4 1−1000/20001-1000/2000 と一様分布のように直線的に計算しています。指数分布の生存確率は e−λxe^{-\lambda x} です。

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