推定 No.19統計検定®2級対策の練習問題（非公式・オリジナル）

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ある計測器で同じ試料の重さを独立に 3 回測定し、測定値を $X_1,\ X_2,\ X_3$ とする。各 $X_i$ は平均 $\mu$ 、分散 8 の同じ分布に従うとする。 $\mu$ の推定量として

$T=\frac{1}{4}X_1+\frac{1}{2}X_2+\frac{1}{4}X_3$

を考える。 $T$ は $\mu$ の不偏推定量である。 $T$ の分散 $V(T)$ として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：4

$X_1,\ X_2,\ X_3$ は独立なので、 $V(aX)=a^2V(X)$ を用いて

$V(T)=\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right)\times8=\frac{6}{16}\times8=3.00$

なお、標本平均 $\bar{X}$ の分散は $8/3\approx2.67$ で、 $T$ より小さい。どちらも不偏推定量だが、 $\bar{X}$ の方が有効である。

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