相関・回帰 No.3統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

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ある農場で、5 つの区画に与えた肥料の量 xx（kg）と収穫量 yy（kg）を記録したところ、次の結果を得た。

区画 1 2 3 4 5
xx 10 20 30 40 50
yy 52 60 61 72 80

yy を xx に回帰する最小二乗法による回帰直線を求めたとき、区画 2（x=20x=20、y=60y=60）の残差 y−y^y-\hat{y} の値として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：3

まず回帰直線を求める。xˉ=30\bar{x}=30、yˉ=325/5=65\bar{y}=325/5=65。

  • x−xˉx-\bar{x}：−20, −10, 0, 10, 20-20,\,-10,\,0,\,10,\,20
  • y−yˉy-\bar{y}：−13, −5, −4, 7, 15-13,\,-5,\,-4,\,7,\,15

Sxy=260+50+0+70+300=680,Sxx=400+100+0+100+400=1000S_{xy}=260+50+0+70+300=680,\qquad S_{xx}=400+100+0+100+400=1000

b=6801000=0.68,a=yˉ−bxˉ=65−0.68×30=44.6b=\frac{680}{1000}=0.68,\qquad a=\bar{y}-b\bar{x}=65-0.68\times30=44.6

区画 2 の予測値は y^=44.6+0.68×20=58.2\hat{y}=44.6+0.68\times20=58.2 なので、残差は

y−y^=60−58.2=1.8y-\hat{y}=60-58.2=1.8

誤答の選択肢について

  • 1 y−yˉ=60−65y-\bar{y}=60-65 で、平均からの偏差です。残差は回帰直線による予測値からのずれです。
  • 2 y^−y\hat{y}-y と逆向きに引いています。残差は「観測値 − 予測値」です。
  • 4 切片 44.644.6 を無視して y^=0.68×20=13.6\hat{y}=0.68\times20=13.6 とし、60−13.660-13.6 を計算しています。
  • 5 予測値 y^\hat{y} そのものです。

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