相関・回帰 No.8統計検定®2級対策の練習問題（非公式・オリジナル）

ある飲食チェーンで、店舗ごとの月間来店者数 $y$ （人）と、その月に配布したクーポンの種類数 $x$ との関係を調べ、次の回帰モデルを推定した（ $\log$ は自然対数）。

$\log y=6.8+0.2x$

このモデルに基づくと、クーポンの種類数を 2 増やしたとき、来店者数の予測値は何 % 増加するか。近似式ではなく正確な変化率を求めるものとし、必要なら $e^{0.4}=1.492$ を用いよ。最も近いものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：4

$x$ が 2 増えると $\log y$ の予測値は $0.2\times2=0.4$ 増える。対数の差は比の対数なので

$\frac{\hat{y}_{\text{後}}}{\hat{y}_{\text{前}}}=e^{0.4}=1.492$

したがって増加率は $(1.492-1)\times100=49.2\%$ である。

「係数 × 100 %」という読み方（ $0.2\times2\times100=40\%$ ）は係数が小さいときの近似で、 $b\,\Delta x=0.4$ のように大きいと実際の変化率とのずれが大きくなる。

1 $x$ が 1 増えたときの近似値（ $0.2\times100$ ）で、増加量 2 も反映していません。
2 $x$ が 1 増えたときの正確な変化率 $(e^{0.2}-1)\times100$ です。増加量は 2 です。
3 $b\,\Delta x\times100$ の近似値です。 $b\,\Delta x=0.4$ と大きいため、正確な値 $49.2\%$ とは差があります。
5 比 $e^{0.4}=1.492$ をそのまま % にしています。変化率は比から 1 を引いたものです。

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