標本分布 No.6統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

難易度：難 計算問題 付表を別タブで開く

ある製パン工場には2本の生産ラインがある。ライン A で焼いた食パン1斤の重さは平均 103 g、標準偏差 6 g、ライン B で焼いた食パン1斤の重さは平均 100 g、標準偏差 5 g の正規分布に従い、両ラインの製品は互いに独立とする。ライン A から無作為に 36 斤、ライン B から無作為に 20 斤を抜き取り、それぞれの標本平均を XˉA\bar{X}_A、XˉB\bar{X}_B とする。

XˉB\bar{X}_B が XˉA\bar{X}_A を上回る確率に最も近い値を、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：1

XˉB−XˉA\bar{X}_B-\bar{X}_A は正規分布に従い、

  • 平均：100−103=−3100-103=-3
  • 分散：5220+6236=1.25+1=2.25\dfrac{5^2}{20}+\dfrac{6^2}{36}=1.25+1=2.25（独立なので分散は足し合わせる）

よって標準偏差は 2.25=1.5\sqrt{2.25}=1.5 であり、

P(XˉB>XˉA)=P(XˉB−XˉA>0)=P(Z>0−(−3)1.5)=P(Z>2.00)=0.0228≈0.023P(\bar{X}_B>\bar{X}_A)=P(\bar{X}_B-\bar{X}_A>0)=P\left(Z>\frac{0-(-3)}{1.5}\right)=P(Z>2.00)=0.0228\approx0.023

誤答の選択肢について

  • 2 標準偏差どうしを足しています（1+1.25≈2.121+\sqrt{1.25}\approx2.12）。独立な変数の差では、足し合わせるのは分散です。
  • 3 分散 2.252.25 を標準偏差として割っています（z=3/2.25≈1.33z=3/2.25\approx1.33）。
  • 4 各ラインの σ\sigma を nn で割らずに 62+52=61\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61} を標準偏差としています。標本平均の分散は σ2/n\sigma^2/n です。
  • 5 XˉA\bar{X}_A が XˉB\bar{X}_B を上回る確率（余事象）です。

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