標本分布 No.7統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

難易度：難 計算問題 付表を別タブで開く

ある精密部品の長さ（mm）は、母分散 4 の正規分布に従うとする。この部品を無作為に 11 個抜き取り、長さの不偏分散 S2S^2 を求める。P(S2>c)=0.05P(S^2>c)=0.05 となる定数 cc の値として最も近いものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。

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正解：3

母分散 σ2\sigma^2 の正規母集団からの大きさ nn の標本について、不偏分散 S2S^2 は

(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)

を満たす。n=11n=11、σ2=4\sigma^2=4 なので 10S24∼χ2(10)\dfrac{10S^2}{4}\sim\chi^2(10)。付表より χ0.052(10)=18.307\chi^2_{0.05}(10)=18.307 だから

P(S2>c)=P(χ2>10c4)=0.05  ⟺  10c4=18.307  ⟺  c=4×18.30710=7.3228≈7.32P(S^2>c)=P\left(\chi^2>\frac{10c}{4}\right)=0.05\iff\frac{10c}{4}=18.307\iff c=\frac{4\times18.307}{10}=7.3228\approx7.32

誤答の選択肢について

  • 1 下側 5% 点 χ0.952(10)=3.940\chi^2_{0.95}(10)=3.940 を使っています。P(S2>c)=0.05P(S^2>c)=0.05 には上側 5% 点が必要です。
  • 2 χ2\chi^2 値を n−1=10n-1=10 ではなく n=11n=11 で割っています。(n−1)S2/σ2(n-1)S^2/\sigma^2 の係数は n−1n-1 です。
  • 4 自由度を n=11n=11 として χ0.052(11)=19.675\chi^2_{0.05}(11)=19.675 を使っています。自由度は n−1=10n-1=10 です。
  • 5 上側 2.5% 点 χ0.0252(10)=20.483\chi^2_{0.025}(10)=20.483 を使っています。片側の確率 0.05 なので上側 5% 点を使います。

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