検定 No.19統計検定®2級 対策の練習問題（非公式・オリジナル）

難易度：難 計算問題 付表を別タブで開く

ある工場では、1 日あたりの電力使用量の平均がこれまで 200 kWh であった。新しい省エネ設定を導入し、電力使用量が減少したかを調べるため、無作為に選んだ 25 日間の電力使用量の標本平均 Xˉ\bar{X} を用いて、帰無仮説 H0:μ=200H_0:\mu=200、対立仮説 H1:μ<200H_1:\mu<200 を有意水準 5% で検定する。電力使用量は正規分布に従い、母標準偏差は 15 kWh で既知とする。

実際の母平均が μ=193\mu=193 であるとき、この検定の検出力として正しいものを、次の 1〜5 のうちから一つ選べ。ただし、正規分布表は小数第 2 位までの zz で引くものとする。

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正解：5

方針：H0H_0 のもとで棄却域の境界を求め、真の平均 μ=193\mu=193 のもとでその棄却域に入る確率を求める。

標準誤差は 15/25=315/\sqrt{25}=3。下側の片側検定で z0.05=1.645z_{0.05}=1.645 なので、棄却域は

Xˉ<200−1.645×3=195.065\bar{X}<200-1.645\times3=195.065

μ=193\mu=193 のとき Xˉ∼N(193, 32)\bar{X}\sim N(193,\ 3^2) だから

P(Xˉ<195.065)=P(Z<195.065−1933)=P(Z<0.69)=1−0.2451=0.7549P(\bar{X}<195.065)=P\left(Z<\frac{195.065-193}{3}\right)=P(Z<0.69)=1-0.2451=0.7549

よって検出力は 0.7549（第 2 種の過誤の確率は β=0.2451\beta=0.2451）。

誤答の選択肢について

  • 1 有意水準 α\alpha です。検出力は対立仮説のもとで棄却する確率です。
  • 2 標準誤差を σ=15\sigma=15 のままにしています（境界 175.325、P(Z<−1.18)P(Z<-1.18)）。
  • 3 第 2 種の過誤の確率 β\beta です。検出力は 1−β1-\beta です。
  • 4 両側検定の z0.025=1.96z_{0.025}=1.96 で境界を 200−1.96×3=194.12200-1.96\times3=194.12 とし、P(Z<0.37)P(Z<0.37) を求めています。

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